2.3 Die Nullstellenform quadratischer Funktionen - Nullstellen direkt ablesen, Matheübungen

Quadratische Funktionen und Gleichungen - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-10. Klasse) - 33 Aufgaben in 6 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
    1. Allgemeine Form:
      y=ax²+bx+c
      Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
       
    2. Scheitelpunktform:
      y=a·(x−xS)²+yS
      Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
       
    3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
      y=a·(x−x1)·(x−x2)
      Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 3
  • Gib jeweils eine Funktionsgleichung einer Parabel an, die alle genannten Bedingungen erfüllt. Ist eine bestimmte Darstellungsform vorgegeben, muss die Funktionsgleichung in dieser Form angegeben werden. Andernfalls ist jede geeignete Darstellungsform erlaubt. Es kann mehrere richtige Lösungen geben.

    • Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-3)\), ist nach oben geöffnet und enger als die Normalparabel. Gib eine passende Funktionsgleichung in Scheitelpunktform an.

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Stoff zum Thema (+Video)
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Beispiel
Stelle, soweit ablesbar, passende Funktionsterme für die Parabeln f und g auf.
graphik
Wie wandelt man die Darstellungsformen einer quadratischen Funktion ineinander um?
#924
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
  • Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
  • Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
  • Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
  • Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
  • Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
  • Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Beispiel
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a) 
y
=
1
3
 
x
+
1
2
−
2
b) 
y
=
1
2
 
x
2
−
5x
+
8
c) 
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.