2.4 ...Darstellungsformen und Umwandlung, Matheübungen

Quadratische Funktionen und Gleichungen - Lehrwerk mathe.delta (5.-10. Klasse) - 46 Aufgaben in 8 Levels

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  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
    1. Allgemeine Form:
      y=ax²+bx+c
      Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
       
    2. Scheitelpunktform:
      y=a·(x−xS)²+yS
      Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
       
    3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
      y=a·(x−x1)·(x−x2)
      Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 8
  • Gib jeweils eine Funktionsgleichung einer Parabel an, die alle genannten Bedingungen erfüllt. Ist eine bestimmte Darstellungsform vorgegeben, muss die Funktionsgleichung in dieser Form angegeben werden. Andernfalls ist jede geeignete Darstellungsform erlaubt. Es kann mehrere richtige Lösungen geben.

    • Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-3)\), ist nach oben geöffnet und enger als die Normalparabel. Gib eine passende Funktionsgleichung in Scheitelpunktform an.

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie leitet man die allgemeine Form einer Parabelgleichung aus der Scheitelpunktform ab?
#911
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Beispiel
Stelle, soweit ablesbar, passende Funktionsterme für die Parabeln f und g auf.
graphik
Welche Formen einer Parabelgleichung gibt es und wie wandelt man diese um?
#236
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
  • Allgemeiner Form   y = ax² + bx + c   ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
  • Scheitelpunktform   y = a (x - xS)² + yS   ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel
Bringe 
y
=
1
4
 
x
2
−
2x
+
1
 in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.
Wie wandelt man die Darstellungsformen einer quadratischen Funktion ineinander um?
#924
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
  • Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
  • Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
  • Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
  • Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
  • Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
  • Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Beispiel
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a) 
y
=
1
3
 
x
+
1
2
−
2
b) 
y
=
1
2
 
x
2
−
5x
+
8
c) 
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1