2.3 Ausmultiplizieren, Ausklammern - Binomische Formeln, Matheübungen

Vorwärtsanwendung der Binomischen Formeln zum schnelleren Multiplizieren von Klammertermen - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-8. Klasse) - 55 Aufgaben in 9 Levels

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  • Hilfe zum Thema
    Verändert sich die Länge einer Seite \(a\) um den Parameter \(x,\) so unterscheidet man die beiden Fälle:
    • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verlängert, so beträgt die neue Länge \( a+x.\)
    • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verkürzt, so beträgt die neue Länge \(\displaystyle a-x.\)
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 9
  • Welche beiden Terme beschreiben den Flächeninhalt der durch Verkürzen oder Verlängern neu entstandenen Figur?
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei A. Die Länge der Katheten beträgt jeweils 5 cm. Verlängert man die eine Kathete um 2x und verkürzt zugleich die andere Kathete um x, so entstehen neue Dreiecke AnBnCn.
     
    A(x)
    =
    0,5
    ·
    5
    +
    x
    ·
    5
    −
    x
     
    A(x)
    =
    0,5
    ·
    5
    −
    2x
    ·
    5
    +
    x
     
    A(x)
    =
    0,5
    ·
    5
    +
    2x
    ·
    5
    −
    x
     
    A(x)
    =
    −
    x
    2
    +
    2,5x
    +
    12,5
     
    A(x)
    =
    −
    x
    2
    +
    5x
    +
    25
     
    A(x)
    =
    x
    2
    −
    12,5x
    +
    30
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Was sind die drei binomischen Formeln und wofür werden sie verwendet?
#264

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Multipliziere.
a
+
1
2
=
?
3
−
b
2
=
?
11
+
c
·
11
−
c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere.
3
7
+
y
2
=
?
1,5x
−
2
3
2
=
?
q
2
+
1
6
·
q
2
−
1
6
=
?
Beispiel 3
Berechne mithilfe der binomischen Formeln ohne Taschenrechner:
53
2
=
?
29
2
=
?
38
·
42
=
?
Beispiel 4
Vereinfache soweit wie möglich.
2c
−
5d
2
−
c
−
5
·
3d
=
?
Wie löst man zwei eingeklammerte Terme auf, die jeweils nur Plusrechnungen enthalten und miteinander multipliziert werden?
#123
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Wie berechnet man die neue Länge einer Strecke a, wenn sie um x verlängert oder verkürzt wird?
#688
Verändert sich die Länge einer Seite \(a\) um den Parameter \(x,\) so unterscheidet man die beiden Fälle:
  • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verlängert, so beträgt die neue Länge \( a+x.\)
  • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verkürzt, so beträgt die neue Länge \(\displaystyle a-x.\)