1.1 Eigenschaften von Funktionsklassen, Matheübungen

Spezielle Eigenschaften von Funktionen - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 77 Aufgaben in 15 Levels

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    Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

    Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

    • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
    • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 12
  • Vervollständige die Gleichungen der vorliegenden Asymptoten durch passende ganzzahlige Werte.
    • graphik
    x
    =
       
    y
    =
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Steigungen und y-Achsenabschnitte ohne zu rechnen?
#1122
Kennt man die Steigungen und y-Achsenabschnitte zweier Geraden, kann man OHNE RECHNUNG angeben, wie die Geraden zueinander liegen:
  • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden sind echt parallel.
  • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden sind identisch.
  • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden schneiden sich.
  • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden schneiden sich auf der y-Achse.
    Der Schnittpunkt kann direkt angegeben werden: S ( 0 | c )
Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Wie beeinflussen der Vorfaktor a und der Exponent n in der Funktionsgleichung y=ax^n den Verlauf des Graphen einer Potenzfunktion?
#716
Bei einer Potenzfunktion mit der Funktionsgleichung y=axn entscheidet die Hochzahl n zusammen mit dem Vorfaktor a, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • n ungerade, a positiv (z.B. 5x³): Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
  • n ungerade, a negativ (z.B. -2x): Graph verläuft von links oben nach rechts unten.
  • n gerade, a positiv (z.B. ½x²): Graph verläuft von links oben nach rechts oben.
  • n gerade, a negativ (z.B. -x²): Graph verläuft von links unten nach rechts unten.
Beispiel
Wie verläuft der Graph?
y
=
4x
7
Was versteht man unter einer Potenzfunktion und welche charakteristischen Eigenschaften und Spezialfälle hat sie?
#715
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form:
y = axn

Spezialfälle:
  • n = 0 (konstante Funktion): y = a, Graph: waagerechte Gerade
  • n = 1 (lineare Funktion): y = ax, Graph: Ursprungsgerade mit Steigung a
  • n = 2 (quadratische Funktion): y = ax2, Graph: gestauchte / gestreckte Parabel mit Scheitel S ( 0 | 0 )
Die Graphen von Potenzfunktionen haben charakteristische Eigenschaften, die oft davon abhängen, ob die Hochzahl n gerade oder ungerade ist.
  • Wertemenge:
    n gerade: keine negativen Zahlen
    n ungerade: alle reellen Zahlen

  • Symmetrie:
    n gerade: Achsensymmetrie zur y-Achse
    n ungerade: Punktsymmetrie zum Ursprung

  • Vorfaktor a
    Der Wert des Parameters a ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
    a>0: Streckung / Stauchung in y-Richtung
    a<0: zusätzliche Spiegelung an der x-Achse
Beispiel
Gib die zugehörige Funktionsgleichung an
graphik
y
=
?x
?
Wie bestimmt man das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion an den Rändern?
#312
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
  • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
  • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
  • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten
Wie bestimmt man den Grad einer ganzrationalen Funktion in Summen- und Produktform?
#314
Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt).

Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren.

Beispiel
Bestimme den Grad von
a) 
f
 
x
=
1
−
x
+
4x
5
−
1
2
 
x
3
b) 
f
 
x
=
1
−
x
2
·
1
+
2x
−
3x
3
Was besagt der Satz vom Nullprodukt und was sind Vielfachheiten von Lösungen?
#693
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Wie beeinflusst die Vielfachheit einer Nullstelle das Verhalten des Graphen?
#316
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").
Beispiel
Gegeben ist folgender Graph 
G
f
 einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3. Bestimme einen passenden Funktionsterm.
graphik
Was muss bei der Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen beachtet werden?
#271
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
Was versteht man unter Asymptoten und wie werden sie dargestellt?
#273

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

  • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
  • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Beispiel
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
graphik
Wie beeinflussen die Werte von a und b sowie ihre Modifikationen den Graphen der Funktion f(x) = b*a^x?
#951
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
  • b>0 und a>1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a)
  • b>0 und 0<a<1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a)
  • g(x) = −b·ax:
    der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt
  • h(x) = b·(1/a)x:
    der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
f
 
x
=
2
·
1,5
x
     
g
 
x
=
5
·
1,1
x
     
h
 
x
=
3
·
3
4
x
     
i
 
x
=
−
2
·
1,5
x
     
k
 
x
=
3
·
4
3
x
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
Wie verändert sich die normale Sinuskurve zu y = a·sin(x + c) + d?
#846
Der Graph der Funktion  y = a·sin(x+c)+d  entsteht aus der normalen Sinuskurve durch:
  • Streckung (|a|>1) bzw. Stauchung (|a|<1) in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist
  • Verschiebung um |c| Einheiten nach links (c>0) bzw. nach rechts (c<0)
  • Verschiebung um |d| Einheiten nach unten (d<0) bzw. nach oben (d>0)
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel
Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:
a) 
0,5
·
sin
 
x
b) 
sin
 
x
−
π
3
c) 
cos
 
x
−
1
d) 
−
1,5
·
cos
 
x
+
π
2