Wie können zwei Kugeln zueinander liegen und wie wird dies bestimmt?

Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

\( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
\( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
\( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

Beispiel

Ermittle die Lage der beiden Kugeln:

\(K_1: (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 6)^2 = 4\)
\(K_2: (x_1 - 1)^2 + x_2^2 + (x_3 - 4)^2 = 1\)

Zur Bestimmung der Lagebeziehung berechnet man zunächst den Abstand der Mittelpunkte:

\[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| &= \left|\begin{pmatrix} 1 - 3\\ 0 + 1\\ 4 - 6 \end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\right|\\[10pt] &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3 \end{aligned} \]

Nun vergleicht man diesen Abstand mit der Summe und der Differenz der Radien:

\[ \begin{aligned} r_1 + r_2 &= 2 + 1 = 3\\[10pt] |r_1 - r_2 |&= |2 - 1 | = 1 \end{aligned} \]

Es gilt somit: \[ \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right|= 3 = r_1 + r_2 \]

\(\Rightarrow \,\)Die beiden Kugeln berühren sich in genau einem Punkt.

Siehe auch