3.7 Modellieren mit Binomialverteilung, Matheübungen

Zufallsgrößen und Binomialverteilung - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 20 Aufgaben in 4 Levels

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  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

    Berechnung mit dem GTR

    Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

    Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

    \[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

    Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

    \[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

    Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 2
  • Berechne. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • In einer Urne befinden sich acht weiße und vier schwarze Kugeln. Per Zufall wird sieben mal hintereinander eine Kugel gezogen und anschließend zurückgelegt. 

    a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den gezogenen Kugeln mehr als drei weiße?

    \(P \approx\;\) ▉ 

    b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die letzten drei Kugeln weiß?

    \(P \approx\;\) ▉ 

    Schritt 1 von 5
    Teilaufgabe a)
    Welcher Term führt zur Lösung?
     
    p
    k
     
    1
    −
    p
    k
     
    P
    n
    p
     
    X
    =
    k
     
    P
    n
    p
     
    X > k
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema
Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?
#1222
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(nk)·pk·(1−p)n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.