Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#798
Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren
(stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor,
\( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:
\[
\cos(\alpha) =
\frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}}
{\text{Produkt ihrer Längen}}
\]
Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:
-
Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \):
Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren
(Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
-
Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \):
Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \)
und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \)
(und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
-
Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \):
Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren
(Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:
- \( P \) als Aufhängepunkt und
- den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.
Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:
- \( P \) als Aufhängepunkt und
- den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
-
Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \):
Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \).
Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt.
Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
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Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \):
Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \).
Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt.
Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
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Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \):
Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
-
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \):
Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.
