1.1 Bestimmtes Integral, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 23 Aufgaben in 6 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 3
  • Bestimme elementargeometrisch (ohne Stammfunktion). Evtl. auftretende Bruchzahlen in der Form "a/b" bzw. "-a/b" eingeben, gemischte Zahlen in der Form "a b/c".
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    7
    −
    4
    f(x) dx
    =
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 3
    graphik
    A
    1
    =
    ;
    A
    2
    =
  • keine Berechtigung
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Ober- und Untersumme berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
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Kanal: Cornelsen Verlag
Bestimmtes Integral mithilfe der Flächenbilanz berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
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Kanal: Cornelsen Verlag
Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Wie kann man die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall abschätzen und welche Fachbegriffe sind dabei relevant?
#568
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
  • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
  • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
  • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:

Un ≤ A ≤ On

Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
 
dx